Question

设A=xⁿ+x^-n，B=x^n-1+x^1-n，当x∈R⁺，n∈N⁺时，求证：A≥B．

Answer 1

【答案】分析：若a，b∈R，则：a-b＞0?a＞b；a-b=0?a=b；a-b＜0?a＜b根据这个性质知，欲证A≥B，只须证A-B≥0即可．
解答：证明：A-B=（xⁿ+x^-n）-（x^n-1+x^1-n）
=x^-n（x²ⁿ+1-x^2n-1-x）
=x^-n[x（x^2n-1-1）-（x^2n-1-1）]
=x^-n（x-1）（x^2n-1-1）．
由x∈R⁺，x^-n＞0，得
当x≥1时，x-1≥0，x^2n-1-1≥0；
当x＜1时，x-1＜0，x²ⁿ-1＜0，即
x-1与x^2n-1-1同号．∴A-B≥0．∴A≥B．
点评：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法．用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号．作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左-右的符号，从而降低了问题的难度．作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论．