Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}满足bn+1=

1

2

bn+

1

4

，且b1=

7

2

，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{bn-

1

2

}是等比数列，并求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先根据前n项和与通项之间的关系以及a_n+1=2S_n+3，整理得到s_n+1+

3

2

=3（s_n+

3

2

）；进而得到{sn+

3

2

}是首项为

9

2

公比为3的等比数列；求出S_n，进而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）先对条件bn+1=

1

2

bn+

1

4

整理得到bn+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

）；再结合首项不为0即可得到数列{bn-

1

2

}是等比数列，求出其通项，进而得到{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵a₁=3且a_n+1=2S_n+3，
∴s_n+1-s_n=2s_n+3⇒s_n+1=3s_n+3⇒s_n+1+

3

2

=3（s_n+

3

2

）；
∵s1+

3

2

=a₁+

3

2

=

9

2

≠0，
∴

sn+1+ 3 2

sn+ 3 2

=3．
即{sn+

3

2

}是首项为

9

2

公比为3的等比数列；
∴sn+

3

2

=

9

2

×3^n-1=

1

2

×3ⁿ⁺¹⇒sn= 

1

2

×3n+1 -

3

2

；
∴a_n=2s_n-1+3=3ⁿ．
（2）∵数列{b_n}满足bn+1=

1

2

bn+

1

4

，且b1=

7

2

，
∴b1-

1

2

=3≠0；
且bn+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

）．
∴

bn+1- 1 2

bn- 1 2

=

1

2

．
∴数列{bn-

1

2

}是首项为3公比为

1

2

的等比数列，
∴bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1⇒b_n=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比关系的确定．在给出递推关系式求数列的通项时，一般是构造新数列求解其通项．