Question

如图，从边长为a的正三角形的顶点，在各边上截取长度为x的线段，以这些线段为边作成有两个直角的四边形，这样的四边形有三个，把三个四边形剪掉，用剩下的部分折成一个底为正三角形的无盖柱形容器.

(1)求这个容器的容积V(x);

(2)求使V(x)为最大时的x的值及V(x)的最大值.

Answer 1

解：(1)柱形的高为x，底面边长为(a-2x)，所以底面积S=(a-2x)²sin60°=(a-2x)².

    所以容积V(x)=(a-2x)²×x=(0＜x＜)?

(2)V′(x)=,

令V′(x)=0，即12x²-8ax+a²=0.解得x₁=,x₂=(不合题意，舍去).因为V(x)在(0，)上只有一个极值，所以它是最大值，V(x)_max=V()==.所以使V(x)为最大值时的x的值是，V(x)的最大值是.