Question

已知函数f（x）=-x²+（2a-1）x+3在[1，2]上的值恒为正，则a的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：先根据函数f（x）=-x²+（2a-1）x+3在[1，2]上的值恒为正，得出-x²+（2a-1）x+3＞0在[1，2]上恒成立，将原问题转化成恒成立问题解决，只须2a-1＞x-的最大值即可，从而求得a的取值范围．
解答：∵函数f（x）=-x²+（2a-1）x+3在[1，2]上的值恒为正，
∴-x²+（2a-1）x+3＞0在[1，2]上恒成立，
即2a-1＞x-在[1，2]上恒成立，
∴2a-1＞x-的最大值即可，
∵x-在[1，2]上是增函数，
∴x-在[1，2]上的最大值是：，
∴2a-1＞，
∴．
则a的取值范围是
故选D．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是化归与转化思想．属于基础题．