Question

若二项式(

tanθ

x

-x)6（θ为常数）的展开式中常数项为160，则tan2θ的值是

 

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r的值；将r的值代入通项求出展开式的常数项，列出方程，求出tanθ；利用二倍角公式求出tan2θ．

解答：解：二项展开式的通项为T_r+1=（-1）^r（tanθ）^6-rC₆^rx^2r-6
令2r-6=0得r=3
所以展开式的常数项为-（tanθ）³C₆³．
∴-（tanθ）³C₆³=160
解得tanθ=-2．
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

-4

1-4

=

4

3

．
故答案为

4

3

．

点评：在解决二项展开式的特殊项问题时，常利用二项展开式的通项公式求出通项再处理．