Question

已知数列的前项和满足，且 

   （1）求k的值；

   （2）求；

   （3）是否存在正整数，使成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）  ；（3）存在正整数

解析:

(1)

又，∴    

(2) 由 (1) 知     ①

当时， ②

①－②，得  

又，易见

于是是等比数列，公比为，所以    

(3) 不等式，即.；整理得 

假设存在正整数使得上面的不等式成立，由于2ⁿ为偶数，为整数，

则只能是

    

因此，存在正整数