题目内容

已知函数f（x）=（cosωx+sinωx）（cosωx-sinωx）+2 $数学公式$ sinωx•cosωx+t（ω＞0），若f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 $数学公式$ ，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最大值为1．
（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

解：（1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （4分）
由题意有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ （5分）
∵0≤x≤π∴ $\text{[math]}$
∴f（x）_max=2+t=1
∴t=-1（16分）
∴ $\text{[math]}$ （7分）
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又 0＜C＜π∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ （9分）
∴ $\text{[math]}$
∴原方程可化为2cos²A=sinA+sinA
即sin²A+sinA-1=0
解得 $\text{[math]}$
∵0＜sinA＜1
∴ $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）先根据二倍角公式对函数解析式进行整理得到f（x）= $\text{[math]}$ ；再结合图象上相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最大值为1求出ω，t即可求出函数f（x）的表达式；
（2）先根据f（C）=1求出角C；再结合2sin²B=cosB+cos（A-C），把B用A表示出来，即可求出sinA的值．
点评：本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+∅）的图象确定函数的解析式，解决这类问题的关键在于根据函数的图象分析出函数的最大值，最小值，周期，向左平移量，特殊点．