Question

若cosαcosβ=

1

2

，则sinαsinβ的取值范围是______．

Answer 1

分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α-β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．

解答：解：∵cosαcosβ=

1

2

，设sinαsinβ=x，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

1

2

-x，
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

+x，
∴-1≤

1

2

-x≤1，-1≤

1

2

+x≤1，
解得：-

1

2

≤x≤

1

2

，
则sinαsinβ的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．
故答案为：[-

1

2

，

1

2

]

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．