Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

n（n+1）（n+2），试求数列{

1

an

}的前n项和．

Answer 1

由S_n=

1

3

n（n+1）（n+2），
当n=1时，a₁=S₁=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

3

n(n+1)(n+2)-

1

3

(n-1)n(n+1)=n（n+1）．
当n=1时上式成立，所以a_n=n（n+1）．
则数列{

1

an

}的前n项和为：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．