Question

（1）求以A（-1，2），B（5，-6）为直径两端点的圆的方程．
（2）求过点A（1，2）和B（1，10）且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用中点坐标公式求出AB的中点C的坐标，即为所求圆的圆心坐标．再利用两点间的距离公式求出半径AC之长，即可得到所求圆标准方程．
（2）算出线段AB的垂直平分线y=6，结合题意设圆心（a，6），半径为r，可得圆的标准方程关于a、r的式子，再结合点到直线的距离公式，列出关于a、r的方程组，解之即可得到所求圆的标准方程．

解答：解：（1）设圆心为C（a，b），由A（-1，2）、B（5，-6），（2分）
结合中点坐标公式，得a=

-1+5

2

=2，b=

2-6

2

=-2，可得C（2，-2）
∵|AC|=

(-1-2)2+(2+2)2

=5
∴圆的半径r=|AC|=5，（5分）
因此，以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）²+（y+2）²=25．（7分）
（2）由题意，可得圆心在线段AB的垂直平分线y=6上，
因此设圆心为（a，6），半径为r，
可得圆的标准方程为（x-a）²+（y-6）²=r²，
代入B点坐标，得（1-a）²+（10-6）²=r²，
∵直线x-2y-1=0与圆相切，∴r=

|a-13|

5

即(a-1)2+16=

(a-13)2

5

，（9分）
解之得，a=3，r=2

5

或 a=-7，r=4

5

（12分）
∴圆的方程是∴（x-3）²+（y-6）²=20或 （x+7）²+（y-6）²=80（14分）

点评：本题给出经过两个定点并且与已知直线相切的圆，求它的标准方程，着重考查了圆的一般方程与标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．