Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

6

3

，短轴长为2

3

（1）求椭圆C的方程；
（2）设G，H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题目给出的椭圆的短轴长及离心率的值，结合a²=b²+c²，可求椭圆的长半轴长，从而椭圆的方程可求；
（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，根据三角形的面积相等得到OG•OH=R•GH，即

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，分OG与OH的斜率都存在和OG与OH的斜率有一个不存在两种情况分析

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

成立，有一个斜率不存在时由特殊点易证，斜率都存在时设直线OG方程，和椭圆方程联立后求出OG²和OH²，整理后即可得到证明．

解答：解：（1）因为

c

a

=

6

3

，2b=2

3

，a²=b²+c²，
解得a=3，b=

3

，所以椭圆方程为

x2

9

+

y2

3

=1． 
（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH
因为OG²+OH²=GH²，故

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，
由

y=kx x2 9 + y2 3 =1

，得

xG2= 9 1+3k2 yG2= 9k2 1+3k2

，所以OG2=

9+9k2

1+3k2

，
同理可得OH2=

9k2+9

3+k2

 （将OG²中的K换成-

1

K

可得）

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

，R=

3

2

，
当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

，
故满足条件的定圆方程为：x2+y2=

9

4

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法和分类讨论的思想方法，是有一定难度题目．