Question

（2013•济宁一模）如图，F₁、F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线与双曲线C交于A、B两点．若|AB|：|BF₁|：|AF₁|=3：4：5．则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  13

• B．3
• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：设|AF₂|=t，|AB|=3x，根据双曲线的定义算出t=2x，a=

3

2

x．Rt△ABF₁中算出cos∠BAF₁=

4

5

得cos∠F₂AF₁=-

4

5

，在△F₂AF₁中，利用余弦定理算出|F₁F₂|=3

5

x，最后根据双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答：解：设|AF₂|=t，|AB|=3x，则|BF₁|=4x，|AF₁|=5x，
根据双曲线的定义，得|AF₁|-|AF₂|=|BF₂|-|BF₁|=2a
即5x-t=（4x+t）-3x=2a，解之得t=2x，a=

3

2

x
∵|AB|：|BF₁|：|AF₁|=3：4：5，得△ABF₁是以B为直角的Rt△
∴cos∠BAF₁=

|AB|

|AF1|

=

4

5

，可得cos∠F₂AF₁=-

4

5

△F₂AF₁中，|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₂AF₁
=25x²+4x²-2×5x×2x×（-

4

5

）=45x²，可得|F₁F₂|=3

5

x
因此，该双曲线的离心率e=

2c

2a

=

3 5 x

3x

=

5

故选：D

点评：本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．