Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求证：f(

1

x

)=-f(x)，且f（x）是偶函数；
（2）请写出一个满足上述条件的函数．

Answer 1

分析：（1）根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分别令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，
即可求得f（1）、f（-1）的值，进而求得结果；根据f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=-1，易判断出f（-x₂）与f（x₂）的关系，再根据函数奇偶性的定义，即可得到答案．
（2）根据（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）和已经学过的知识可知对数函数满足条件，另由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），举出一个函数即可．

解答：解：（1）证明：令x₁=x₂=1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
∴f(

1

x

)+f(x)=f(1)=0，
∴f(

1

x

)=-f(x)
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
∴f（-1）=0；
令x₁=-1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函数；
（2）根据根据（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
可知f（x）=log₂|x|．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及抽象函数值，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键，属中档题．