Question

求圆C：x²+y²=4在矩阵A=

2 0 0 1

对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．

Answer 1

分析：先设P（x，y）是圆C：x²+y²=4上的任一点，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩阵A对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P₁的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．

解答：解：设P（x，y）是圆C：x²+y²=4上的任一点，
P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩阵A=

2 0 0 1

对应变换作用下新曲线上的对应点，
则

x′ y′

=

2 0 0 1

x y

=

2x y

（3分）
即

x′=2x y′=y

，所以

x= x′ 2 y=y′

，（6分）
将

x= x′ 2 y=y′

代入x²+y²=4，得

x′2

4

+y′2=4，（8分）
∴方程

x2

16

+

y2

4

=1表示的曲线是焦点为（±2，0）长轴为8的椭圆．（10分）

点评：本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，以及轨迹方程等有关知识，属于基础题．