Question

已知函数f(x)=x2+

2a3

x

+1，其中a＞0
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与y=1平行，求a的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

∵函数f(x)=x2+

2a3

x

+1，
∴f′(x)=2x-

2a3

x2

=

2(x3-a3)

x2

，x≠0．（2分）
（1）由题意可得f'（1）=2（1-a³）=0，解得a=1，（3分）
此时f（1）=4，在点（1，f（1））处的切线为y=4，与直线y=1平行．
故所求a值为1．（4分）
（2）由f'（x）=0可得x=a，a＞0，（5分）
①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2]上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递增，（6分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a³+2．（7分）
②当1＜a＜2时，

x	（1，a）	a	（a，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小	↑

由上表可得y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a²+1..（11分）
③当a≥2时，f'（x）＜0在[1，2）上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递减．（12分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a³+5．（13分）
综上讨论，可知：
当0＜a≤1时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a³+2；
当1＜a＜2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a²+1；
当a≥2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a³+5..（14分）