题目内容

已知双曲线的离心率e=2，F₁、F₂为两焦点，M为双曲线上一点，若∠F₁MF₂=60°，且 $数学公式$ ．求双曲线的标准方程．

解：如图，当焦点在x轴上时，设方程为： $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
由∠F₁MF₂=60°
?|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cos60°
?16a²=（|MF₁|-|MF₂|）²+|MF₁|•|MF₂|
?16a²=4a²+|MF₁|•|MF₂|
?|MF₁|•|MF₂|=12a²
且 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ |MF₁|•|MF₂|sin60°=12 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ×12a²× $\text{[math]}$ =12 $\text{[math]}$ ，?a=2，
∴b= $\text{[math]}$ a=2 $\text{[math]}$ ．
此时双曲线方程为 $\text{[math]}$ ．
当焦点在y轴上时，方程为： $\text{[math]}$ ．
分析：当焦点在x轴上时，设方程为： $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）根据其离心率为2，知a，b，c的关系式．再由∠F₁MF₂=60°，且△MF₁F₂的面积为12 $\text{[math]}$ ．即可求得a值．由此能导出双曲线的方程．
点评：本小题主要考查双曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．

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