Question

设椭圆的左、右焦点分别为，
上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：解：（Ⅰ）连接，因为，，所以，
即，故椭圆的离心率．
（Ⅱ）由（1）知得于是, ，
的外接圆圆心为），半径
到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，
所以，得  ，椭圆方程为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知, ：
   代入消得  
因为过点，所以恒成立
设，则，
中点                        
当时，为长轴，中点为原点，则      
当时中垂线方程．
令，              
，， 可得          
综上可知实数的取值范围是．              
点评：关于曲线的大题，难度相对都较大。对于题目涉及到关于直线和其他曲线的交点时，一般都可以用到跟与系数的关系式：在一元二次方程中，。