Question

已知集合P={x|2x²-7x+3≤0}，函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q．
（1）若P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，求a的值；
（2）若P∩Q=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）集合P可直接解出，集合Q为含参的二次型不等式的解集，结合条件可求出Q，进一步求出a；
（2）由条件可求出集合Q的范围，进一步求解a的范围即可．

解答：解：（1）集合P={x|2x²-7x+3≤0}={x|

1

2

≤ x≤3}，集合Q={x|ax²-2x+2＞0}，
由P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，得Q=(-2，

2

3

)，即-2和

2

3

是ax²-2x+2=0的两根，所以a=-

3

2

（2）若P∩Q=∅，即x∈P时，ax²-2x+2≤0恒成立，只要a≤

2x-2

x2

=

2

x

-

2

x2

的最小值．
而

2

x

-

2

x2

，x∈P的最小值为-4，故a 的范围为a≤-4

点评：本题考查二次不等式的解集、集合的关系和运算，分类讨论和化归转化思想，难度一般．