Question

设函数f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

．
（1）当 0≤x≤

π

2

时，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值；
（3）问a取何值时，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解？

Answer 1

分析：（1）用同角公式对f（x）化简得f（x）=-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

，设sinx=t，则函数g（t）是开口向下，对称轴为t=

a

2

的抛物线，根据二次函数的性质，对a进行讨论得出答案．
（2）M（a）=2代入（1）中的M（a）的表达式即可得出结果．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx．即

2-a

4

=sin²x+sinx，x∈[0，2π）欲使方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．则必须

2-a

4

∈（0，2）∪{-

1

4

}，从而求出a的范围即可．

解答：解：（1）f（x）=-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

，
∵0≤x≤

π

2

∴0≤sinx≤1
令sinx=t，则f（t）=-t²+at+

2-a

4

，t∈[0，1]
∴M（a）=

3a 4 - 1 2 (a≥2) 1 2 - a 4 + a2 4 (0＜a≤2) 1 2 - a 4 (a≤0)

．
（2）当M（a）=2时，

3a

4

-

1

2

=2⇒a=

10

3

；

1

2

-

a

4

+

a2

4

=2⇒a=3或a=-2（舍）；

1

2

-

a

4

=2⇒a=-6．
∴a=

10

3

或a=-6．
①当a=-6时，f（x）_min=-5；
②当a=

10

3

时，f（x）_min=-

1

3

．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx
即-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

=（1+a）sinx，
即

2-a

4

=sin²x+sinx，x∈[0，2π）
∵sin²x+sinx∈[-

1

4

，2]，
∵方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．
∴

2-a

4

∈（0，2）∪{-

1

4

}，
∴-6＜a＜2或a=3．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质．在二次函数的性质的使用的时候要特别注意对称轴的位置．