Question

（理科）若函数f（x）满足f(x)+1=

1

f(x+1)

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是

(0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：确定分段函数的解析式，分别研究它们的零点，即可得到结论．

解答：解：①x∈[0，1]时，f（x）=x，g（x）=x-mx-m，要使g（x）有零点，则必须有g（0）g（1）＜0，即m（2m-1）＜0，∴0＜m＜

1

2

，
若m=0，g（x）=x，有一个零点0；若m=

1

2

，g（x）=

x

2

-

1

2

，有一个零点1，∴m∈[0，

1

2

]
②x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=x+1，f（x）=

1

x+1

-1=-

x

x+1

，g（x）=-

x

x+1

-mx-m，g（0）=-m
g'（x）=

-1-m(x+1)2

(x+1)2

m=0，g（x）单调减，g（0）=0，此时无零点
若m＞0，则g′（x）＜0恒成立，x∈（-1，0）时，x→-1，g（x）→+∞，x→0，g（x）=-m＜0
∴此时在（-1，0 ）上必然有一个零点
若m＜0，令g′（x）=0，考虑到x∈（-1，0 ），此时没有零点，
综上所述：0＜m≤

1

2

故答案为：(0，

1

2

]

点评：本题考查分段函数的解析式，考查函数的零点，解题的关键是确定分段函数的解析式．