Question

f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（1）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（2）作出y=f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到？

Answer 1

分析：先根据两角和与差公式对函数进行化简整理得f（x）=2sin（2x+

π

6

），
（1）将2x+

π

6

看作整体，求出取值范围，再根据正弦函数的性质求得函数的值域．
（2）令2x+

π

6

=0，

π

2

 ， π，

3π

2

， 2π，求出x及对应的y值，描点连线．
（3）先进行左移

π

6

个单位，再各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
∵x∈[0，

π

2

]∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴所求值域为[-1，2]
（2）列表

描点连线

（3）可由y=sinx的图象先向左平移

π

6

个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变而得到．

点评：本题考查两角和与差公式、正弦函数的图象、性质、三角函数图象变换，考查转化、计算等能力．