Question

已知函数f(x)=log2

1+x

x-1

．
（1）求函数f（x）的定义域并证明其为奇函数；
（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）该题参数m已经分离，所以只需利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出m的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则m可以取该值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=log2

1+x

x-1

，
∴令

1+x

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函数的定义域为{x|x＜-1或x＞1}，
∴函数f（x）的定义域关于原点对称，
又∵f(-x)=log2

1-x

-x-1

=log2

x-1

x+1

=-log2

x+1

x-1

=-f(x)，
∴函数f（x）为奇函数；
（2）∵函数f(x)=log2

1+x

x-1

，
∴f（x）+log₂（x-1）=log2

1+x

x-1

+log₂（x-1）=log₂（1+x），
∵y=log₂（1+x）在（1，+∞）上单调递增，
∴当x＞1时，log₂（1+x）＞log₂（1+1）=1，
∴1＜f（x）+log₂（x-1），
又∵当x∈（1，+∞）时，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立，
∴m≤1＜f（x）+log₂（x-1），
∴实数m的取值范围为m≤1．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．本题解题过程中运用了对数函数的性质求解取值范围．属于中档题．