Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）如果对?x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）
（Ⅱ）问题可转换为c≤2x²-|x-1|恒成立，只需c小于等于2x²-|x-1|最小值．

解答：解（I）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x²-2x），故g（x）=-x²+2x．
（II）由g（x）+c≤f（x）-|x-1|可得：c≤2x²-|x-1|，
令F(x)=

2x2-x+1，x≥1 2x2+x-1，x＜1

，
当x≥1时，F（x）_min=2；
当x＜1时，F(x)min=F(-

1

4

)=-

9

8

，因此，实数c的取值范围为(-∞，-

9

8

]．

点评：本题考查不等式恒成立，考查转化、计算能力．