Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

在点（-1，f（-1））的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求证：

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）将切点横坐标代入切线方程，求出切点，得到关于a，b的等式，求出f（x）的导数，将x=-1代入导函数，令得到的值等于切线的斜率-1．
（II）将要证的不等式变形，构造新函数h（x），求出其导函数，判断出其符号，判断出h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，得到要证的不等式．
（III）将要证的不等式变形，转化为关于

b

a

的不等式，利用（II）得到的函数的单调性，得到恒成立的不等式，变形即得到要证的不等式．

解答：解：（Ⅰ）将x=-1代入切线方程得y=-2
∴f(-1)=

b-a

1+1

=-2，
化简得b-a=-4
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

f′(-1)=

2a+2(b-a)

4

=

2b

4

=

b

2

=-1
解得：a=2，b=-2．
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．
（Ⅱ）由已知得lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
化简（x²+1）lnx≥2x-2
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立
设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2
∵x≥1
∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，
即h'（x）≥0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立                      
（Ⅲ）∵0＜a＜b
∴

b

a

＞1，
由（Ⅱ）知有ln

b

a

＞

2 b a -2

( b a )2+1

整理得

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

∴当0＜a＜b时，

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题是证明不等式恒成立，通过构造函数转化为不等式恒成立，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．