Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（I）求c的值；        
（II）求{a_n}的通项公式．
（III）由数列{a_n}中的第1、3、9、27、…项构成一个新的数列{b_n}，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）利用题设递推式分别表示出a₂和a₃，利用三者的等比关系求得c．
（II）分别表示很出a₂-a₁，a₃-a₂等，利用叠加法求得数列的通项公式．
（III）把利用（II）中数列{a_n}的通项公式，求得b_n}．

解答：解：（I）a₁=2，

a

2

=2+c，a₃=2+3c，
因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，
故c=2．
（II）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，
a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以a_n-a₁=[1+2+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，
故a_n=2+n（n-1）
=n²-n+2．
当n=1时，上式也成立，
所以an=n2-n+2，n∈N^*．
（III）∵an=n2-n+2，n∈N^*．
数列{a_n}中的第1、3、9、27、…项构成一个新的数列{b_n}，
∴b₁=a₁=1²-1+2=3^2×1-2-3^1-1+2，
b₂=a₃=3²-3+2=3^2×2-2-3^2-1+2，
b₃=a₉=9²-9+2=3^2×3-2-3^3-1+2，
b₄=a₂₇=27²-27+2=3^2×4-2-3^4-1+2，
…
∴b_n=3^2n-2-3^n-1+2．

点评：本题主要考查了数列的递推式，数列的通项公式以及等比数列的性质．涉及了综合知识的运用．