题目内容
(14分)已知定义在R上的函数
对任意
都有
，且当
时，
（1）求证为奇函数；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若
，对任意
恒成立，求实数
的取值范围。
20.（1）证明：
①
令x=y=0，代人①式，得
，即
；-----------(1分)
令
，代人①式，得
，又，则有
，即
对任意
成立，---------------(3分)
所以
为奇函数；---------------------------------------------(4分)
（2）解：在R上的单调递增，以下用定义证明：
设任意
，且
，则
，所以
--------(5分)
即
----------------------(7分)
，
在R上的单调递增；------------------------(8分)
（3）由（1）（2）可知，是在R上的单调递增的奇函数，
故由
可得
--------------------------(9分)
即
对任意恒成立。-------(10分)
令
，问题等价于
对任意
恒成立。
令
，其对称轴为
，-----------------------(11分)
当
即
时，
，符合题意；-------------------(12分)
当
时，对任意
恒成立
解得
-------------------------------------------（13分）
综上所述，
当
时，，对任意恒成立。--（14分）
（3）解法二：由（1）（2）可知，是在R上的单调递增的奇函数，
故由可得
-----------------------------(9分)
---------------------------------------------
(10分)
即
------------------------------------------------ (11分)
，当且仅当
时，等号成立
即
的最小值为
；------------------ (12分)
要使对不等式恒成立，只要使
；------ (13分)
即当时，，对任意恒成立。(14分)
【解析】略
上的函数
同时满足：①对任意
，都有
②当
时，
，试解决下列问题： （Ⅰ）求在
时，
的方程
在
上有实数解，求实数
的取值范围；（Ⅲ）若对任意
，关于
都成立，求实数
上的奇函数
满足
，且对任意
有
．
，
，求数列
的通项公式．
为
的前
项和，若
对
恒成立，求
的最大值．
，且满足
，a，x1，x2为常数,x1≠x2．
，x∈（0，e]，若F(x)的最小值为6，求实数b的值；
，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是函数g(x)图象上两点，若
，试判断x0，x1，x2的大小，并加以证明．
，其中a为常数.
的一个极值点，求a的值；
，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围.
，其中a为常数.
的一个极值点，求a的值；
，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围.