Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P、Q分别是AB、AA₁、C₁D₁、CC₁的中点，给出以下四个结论：①AC₁⊥MN； ②AC₁∥平面MNPQ； ③AC₁与PM相交； ④NC₁与PM异面．其中正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①要证A₁C⊥MN，由于AD₁∥MN，则只需证A₁C⊥AD₁，即只需证AD₁⊥面A₁CD即可；
②由于A₁C与MP交于一点，则A₁C与平面MNPQ相交；
③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．
解答：解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∴A₁D⊥AD₁，
∵CD⊥面AA1D1D，AD1?面AA1D1D，
∴CD⊥AD₁，
∴AD₁⊥面A₁CD，∴A₁C⊥AD₁
∵M，N分别是AA₁，A₁D₁的中点，∴AD₁∥MN，即A₁C⊥MN，故①正确；
由于M，N，P，Q分别是AA₁，A₁D₁，CC₁，BC的中点，
则A₁C与PM相交，故②不正确，③正确；
∵N∉面ACC₁A₁，而M，P，C∈面ACC₁A₁，∴NC与PM异面，故④正确；
故答案为：①③④．
点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，我们可以根据空间几何中的定义，定理及常用结论对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结果．