Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

（1）确定f（x）的单调区间；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

k2-k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）分离参数，确定函数的最值，即可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

1+lnx

x

，∴f′(x)=-

lnx

x2

（x＞0）
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1
∴函数的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥

k2-k

x+1

恒成立，等价于

(x+1)(1+lnx)

x

≥k²-k
设g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，则g′（x）=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

∵x≥1，∴h′（x）≥0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增
∴h（x）的最小值为h（1）=1＞0，∴g′（x）＞0
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）的最小值为g（1）=2
∴k²-k≤2
∴-1≤k≤2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．