Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃=10，S₇=91．数列{b_n+1-b_n}是公比为

1

2

的等比数列，且满足b₁=1，b₂=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n，求数列{c_n}中的最大项．

Answer 1

分析：（1）由a₃=10，S₇=91得a₁，d的方程组，解出后按照等差数列的通项公式可得a_n，先由等比数列通项公式求得b_n+1-b_n，再用累加法可得b_n；
（2）表示出c_n，利用作差可判断数列{c_n}的单调情况，由此可求得其最大项；

解答：解：（1）由a₃=10，S₇=91，得

a1+2d=10 7a1+21d=91

，

a1=4 d=3

，
∴a_n=3n+1，
∵公比为

1

2

，b₂-b₁=1，
∴bn+1-bn=(

1

2

)n-1(b2-b1)=(

1

2

)n-1，
n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-3+…+(

1

2

)0+1=3-(

1

2

)n-2，
n=1时，b₁=1也符合，
∴bn=3-(

1

2

)n-2n∈N*；
（2）cn=(3n+4)[3-(

1

2

)n-1]-(3n+1)[3-(

1

2

)n-2]=9+

3n-2

2n-1

，
cn+1-cn=

5-3n

2n

，
当n=1时，c₂＞c₁，当n≥2时，c_n+1＜c_n．
当n=2时，c_n的最大值为11；

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查递推式求数列通项的基本方法，考查学生的运算求解能力．