题目内容
已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，有an=2an-1+1．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
分析：（1）直接利用公式求出a2，a3；
（2）构造可得an+1=2（an-1+1），从而可得数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，可先求an+1，进而可求an．
（2）构造可得an+1=2（an-1+1），从而可得数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，可先求an+1，进而可求an．
解答：解：（1）数列{an}中，a1=1，
当n≥2时，有an=2an-1+1，
a2=2×1+1=3；a3=2×3+1=7．
（2）由题意，两边同加1得：an+1=2（an-1+1），
∵a1+1=2
∴{an+1}是以2为首项，以2为 公比等比数列
∴an+1=2•2 n-1=2n
∴an=2n-1．
当n≥2时，有an=2an-1+1，
a2=2×1+1=3；a3=2×3+1=7．
（2）由题意，两边同加1得：an+1=2（an-1+1），
∵a1+1=2
∴{an+1}是以2为首项，以2为 公比等比数列
∴an+1=2•2 n-1=2n
∴an=2n-1．
点评：本题的考点是数列递推式，主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，关键是构造等比数列的方法的应用
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