题目内容

椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线l过F₂与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，求直线l的方程．

解：设F₂（ $\text{[math]}$ ，0），设直线l的方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ），
由 $\text{[math]}$ 得（1+2k²）x²-4 $\text{[math]}$ k²x+4（k²-1）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
又y₁=k（x₁- $\text{[math]}$ ），y₂=k（x₂- $\text{[math]}$ ），∴y₁•y₂=k²x₁•x₂- $\text{[math]}$ k²（x₁+x₂）+2k²．
又 $\text{[math]}$ =（x₁，y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂，y₂），
直线l过F₂与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0，
即 $\text{[math]}$ +k²× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ k²（ $\text{[math]}$ ）+2k²=0，
解得k=± $\text{[math]}$ ，
当k不存在时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不垂直．
∴所求直线方程为：y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）．
分析：求出椭圆的焦点，设出直线的方程，联立方程组，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂，x₁•x₂，推出y₁•y₂，利用 $\text{[math]}$ ，通过x₁•x₂+y₁•y₂=0，求出k 的值，判断斜率不存在时的情况，即可求出直线方程．
点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理的应用，直线与直线的垂直条件的应用，考查计算能力．

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=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y=x+2相切．
（1）求a与b；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F₁和F₂，直线l过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁与点P．求PF₁线段垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

给出以下5个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

=(1，-2)平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量

夹角为锐角θ，且满足 |

=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为

且经过点P(1，

)．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

（2011•重庆一模）给出以下4个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

=（1，-2）平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，则使x-y取得最小值的最优解有无数多个；
③设A、B为两个定点，n为常数，|

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
④若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆．
其中所有真命题的序号为

（本题12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且

（I）求椭圆C₁的方程；（II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。