题目内容

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n，且a₁=1，S₆=28S₃，各项均为正数的等差数列{b_n}的前n项和为T_n且T₃=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式和b₂；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n；
（3）在（2）的条件下证明 $数学公式$ ．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
又{b_n}为各项均为正数的等差数列，所以T₃=3b₂=15，∴b₂=5
（2）∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
设等差数列{b_n}的公差为d
∴（3+5）²=（6-d）（14+d）
∴d=2，d=-10（舍去）
∴b_n=2n+1，b₁=3
∴ $\text{[math]}$
（3）由（2）知 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：（1）由题意可求q，进而得{a_n}的通项公式，再由等差数列的性质易得b₂的值；
（2）由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，可求数列{b_n}的公差，即得数列{b_n}的通项为b_n=2n+1，可求和；（3）由（2）知 $\text{[math]}$ ，符合用裂项相消法求和，即得结论．
点评：本题为等差等比数列的综合应用，涉及裂项相消法，准确利用公式是解决问题的关键，属中档题．

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