Question

2．已知函数f（x）=mx-alnx-m，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，其中m，a均为实数．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设m=1，a＜0，若对任意的x₁、x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对函数g（x）求导，得到g'（x）=0，得到极值点，求出极值．
（Ⅱ）不妨设x₂＞x₁，则$|f（{x_2}）-f（{x_1}）|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$等价于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$g'（x）=\frac{1-x}{{{e^{x-1}}}}$，令g'（x）=0，得x=1，列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

∴当x=1时，g（x）取得极大值g（1）=1，无极小值；
（Ⅱ）当m=1时，a＜0时，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞），
∵$f'（x）=\frac{x-a}{x}＞0$在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上为增函数，
设$h（x）=\frac{1}{g（x）}=\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$h'（x）=\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}＞0$在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上为增函数，
不妨设x₂＞x₁，则$|f（{x_2}）-f（{x_1}）|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$等价于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），
设u（x）=f（x）-h（x）=$x-alnx-1-\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，则u（x）在[3，4]上为减函数，
∴$u'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}≤0$在[3，4]上恒成立，
∴$a≥x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$恒成立，∴$a≥{（x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}）_{max}}$，x∈[3，4]，
设$v（x）=x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$v'（x）=1-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}=1-{e^{x-1}}[{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}]$，x∈[3，4]，
∴${e^{x-1}}[{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}]＞\frac{3}{4}{e^2}＞1$，∴v'（x）＜0，v（x）为减函数，
∴v（x）在[3，4]上的最大值$v（3）=3-\frac{2}{3}{e^2}$，∴$a≥3-\frac{2}{3}{e^2}$，∴a的最小值为$3-\frac{2}{3}{e^2}$；

点评 本题主要考查了利用导数求函数极值和利用导数求参数范围，属于中档题型，在高考中经常涉及．