题目内容
设{an}是正数组成的数列，其前n项的和为Sn，并且对于所有的自然数n，存在正数t，使an与t的等差中项等于Sn与t的等比中项．
（1）求 {an}的通项公式；
（2）若n=3时，Sn-2t•an取得最小值，求t的取值范围．
（1）求 {an}的通项公式；
（2）若n=3时，Sn-2t•an取得最小值，求t的取值范围．
（1）由题意：
=
即2
=t+an
当n=1时，2
=t+a1=t+a1，∴(
-
)2=0，a1=t…..（3分）
当n≥2时，2
=t+an∴4tSn=t2+2tan+an2①4tSn-1=t2+2tan-1+an-12②
①-②得4tan=2tan-2tan-1+（an2-an-12）2t（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
∵an+an-1≠0，∴an-an-1=2t∴{an}是以t为首项，2t为公差的等差数列，an=（2n-1）t…．（8分）
（2）∴Sn=tn2，an+t=2
=2nt，∴an=（2n-1）tSn-2t•an=tn2-（2n-1）•2t2=tn2-4t2n+2t2，
设f（x）=tx2-4t2x+2t2，∵当x取3 时有最大值，对称轴
=2t∈[
，
]∴t∈[
，
]…（12分）
| t+an |
| 2 |
| tSn |
| tSn |
当n=1时，2
| ta1 |
| a1 |
| t |
当n≥2时，2
| tSn |
①-②得4tan=2tan-2tan-1+（an2-an-12）2t（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
∵an+an-1≠0，∴an-an-1=2t∴{an}是以t为首项，2t为公差的等差数列，an=（2n-1）t…．（8分）
（2）∴Sn=tn2，an+t=2
| tSn |
设f（x）=tx2-4t2x+2t2，∵当x取3 时有最大值，对称轴
| 4t2 |
| 2t |
| 5 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
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