题目内容

已知函数f（x）=log2
3x-1
3x+1
，（x∈（-∞，-
1
3
）∪（
1
3
，+∞））
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在区间（
1
3
，+∞）上的单调性．
分析：（1）由f（-x）=log2
-3x-1
-3x+1
=log2
3x+1
3x-1
=log2（
3x-1
3x+1
）-1=-f（x），可得
（2）令g（x）=
3x-1
3x+1
=
x-
1
3
x+
1
3
=1-
4
3
x+
1
3
，只要利用单调性的定义先检验函数g（x）在（
1
3
，+∞）上单调性，结合y=log2g（x）在（0，+∞）单调性及复合函数的单调性可判断
解答：解：（1）函数f（x）是奇函数．证明如下
证明：由题意可得函数的定义域关于原点对称
因为f（-x）=log2
-3x-1
-3x+1
=log2
3x+1
3x-1
=log2（
3x-1
3x+1
）-1=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）f（x）在区间（
1
3
，+∞）上的单调递减，证明如下
证明：令g（x）=
3x-1
3x+1
=
x-
1
3
x+
1
3
=1-
4
3
x+
1
3

设
1
3
＜x1＜x2，则g（x1）-g（x2）=1-
4
3
x1+
1
3
-(1-
4
3
x2+
1
3
)
=
4
3
x2+
1
3
-
4
3
x1+
1
3
=
4
3
(x1-x2)
(
1
3
+x1)(
1
3
+x2)

∵
1
3
＜x1＜x2，则x1-x2＜0，(x1+
1
3
)(x2+
1
3
) ＞0
∴即g（x1）＜g（x2）
∴g（x）在（
1
3
，+∞）上单调递减
由于y=log2g（x）在（0，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知y=log2
3x+1
3x-1
在（
1
3
，+∞）单调递减
点评：本题主要考查了奇偶函数的定义、函数单调性的定义在判断函数的奇偶性、单调性中中的应用，解题的关键是熟练掌握基本定义、基本方法
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．
已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
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2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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