Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（1）若边BC上的中线AD记为m_a，试用余弦定理证明：ma=

1

2

2(b2+c2)-a2

．
（2）若三角形的面积S=

1

4

(a2+b2-c2)，求∠C的度数．

Answer 1

（1）在△ABD中，cosB=

c2+( a 2 )2-ma2

2•c• a 2

；…2分
在△ABC中，cosB=

c2+a2-b2

2•c•a

，…4分
∴

c2+( a 2 )2-ma2

2•c• a 2

=

c2+a2-b2

2•c•a

，…5分
化简为：ma2=c²+

a2

4

-

c2+a2-b2

2

=

2(c2+b2)-a2

4

，
∴m_a=

1

2

2(b2+c2)-a2

；…7分
（2）由S=

1

4

（a²+b²-c²），得

1

2

absinC=

1

4

•2abcosC，…10分
∴tanC=1，得C=45°…13分