Question

已知函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+4x+6a(a∈R)，g(x)=4x+6．

(Ⅰ)若函数y=f(x)的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；

(Ⅱ)若两个函数图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)y=f(x)=2x³-3(a-1)x²+4x+6a求导数得

f′(x)=6x²-6(a-1)x+4(2分)

≥ 

=4-(a-1)²=1

∴(a-1)²=2，∴a=±+1

(Ⅱ)∵g(x)=4x+6的图像是一直线

因此两个函数图像的公共点的个数取决于方程f(x)=g(x)的解的个数

所以只需研究函数m(x)=f(x)-g(x)图像与x轴关系．

由m(x)=2x³-3(a-1)x²+6(a-1)求导数得

m′(x)=6x²-6(a-1)x=6x[x-(a-1)]

(ⅰ)在a=1时，m′(x)=6x²≥0，m(x)在R上单调递增，则

m(x)与x轴只有一个交点 

(ⅱ)在a≠1时，m′(x)=0有两根x₁=0，x₂=a-1，

即为y=m(x)的两个极值点．

m(x₁)=m(0)=6(a-1)

m(x₂)=m(a-1)=-(a-1)³+6(a-1)=(a-1)[6-(a-1)²]

y=m(x)与x轴只有一个交点，则需m(x₁)m(x₂)＞0 

∴6(a-1)(a-1)[6-(a-1)²]＞0(a≠1)

∴(a²-1)²-6＜0有1-＜a＜1+且a≠1

由(ⅰ)(ⅱ)可知所求a范围为(1-，1+).