Question

已知函数奇函数f(x)=lg

1-ax

1+x

．求：
（1）求实数a的值； 
（2）求函数f（x）的定义域； 
（3）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程f（-x）=-f（x），即可求实数a的值； 
（2）根据对数函数的性质，求函数f（x）的定义域； 
（3）利用对数函数的单调性解对数不等式即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，∴lg?

1+ax

1-x

?

1-ax

1+x

=0，即

1-a2x2

1-x2

=1，
∴1-a²x²=1-x²，解得a=±1，
当a=-1时，f（x）=lg1=0，结合题意，不合适．
故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=lg

1-x

1+x

，要使函数有意义，
则

1-x

1+x

＞0，即（1+x）（1-x）＜0，解得-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1）．
（3）∵f（x）＞0，∴lg

1-x

1+x

＞0，即

1-x

1+x

＞1，
∵-1＜x＜1，∴0＜x+1＜2，
即不等式等价为1-x＞1+x，即x＜0，
∴此时-1＜x＜0．
∴不等式的解集为（-1，0）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，以及对数函数的图象和性质，要求熟练掌握对数函数的相关性质．