Question

设P：f(x)=ln(2x)+

1

3

mx3-

3

2

x2+4x+1在[

1

6

，6]内单调递增，q：m≥

5

9

，则q是p的（　　）

• A、充分必要条件
• B、充分不必要条件
• C、必要不充分条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：首先由f（x）在[

1

6

，6]内单调递增，得f′（x）≥0恒成立；然后利用分离参数的方法，得到m≥-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

恒成立；再利用换元法，令t=

1

x

，得g（t）=-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

=-t³-4t²+3t；随后结合导数法求出g（t）的最大值，即得m的取值范围；最后判断出q是p的充分不必要条件．

解答：解：∵f(x)=ln(2x)+

1

3

mx3-

3

2

x2+4x+1在[

1

6

，6]内单调递增，
∴在[

1

6

，6]内，f′（x）=

1

x

+mx²-3x+4=

mx3-3x2+4x+1

x

≥0恒成立．
即mx³-3x²+4x+1≥0，亦即m≥-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

恒成立．
令t=

1

x

，则-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

=-t³-4t²+3t，
设g（t）=-t³-4t²+3t，则g′（t）=-3t²-8t+3．
由g′（t）=-3t²-8t+3=0得t=-3或

1

3

．
∵x∈[

1

6

，6]∴t∈[

1

6

，6]
∴在[

1

6

，

1

3

）内，g′（t）＞0；在（

1

3

，6]内，g′（t）＜0．
∴[g（t）]_max=g（

1

3

）=-

1

27

-

4

9

+1=

14

27

．
∴m≥

14

27

即可．
又∵

14

27

≤

5

9

，∴q是p的充分不必要条件．
故选B．

点评：本题主要考查了导数法解决函数的单调性及最值，同时考查了换元法、分离参数法及充分必要条件的知识，是一道非常综合的题目．