Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（-4）=-1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   （-1，10）
4. D.
   （-∞，-1）

Answer 1

B
分析：先由导函数f′（x）是过原点的二次函数入手，再结合f（x）是定义域为R的奇函数求出f（x）；然后根据a、b的约束条件画出可行域，最后利用的几何意义解决问题．
解答：由f（x）的导函数f′（x）的图象，设f′（x）=mx²，则f（x）=+n．
∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即n=0．
又f（-4）=m×（-64）=-1，∴f（x）=x³=．
且f（a+2b）=＜1，∴＜1，即a+2b＜4．
又a＞0，b＞0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示．

而可视为可行域内的点（b，a）与点M（-2，-2）连线的斜率．
又因为k_AM=3，k_BM=，所以＜＜3．
故选B．
点评：数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到的代数式要考虑点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．