Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，动点P到点F的距离等于点P到直线l的距离，动直线PO与直线l交于动点N，过N且平行于x轴的直线与动直线PF交于动点Q．
（Ⅰ）求证：动点P、Q在同一条曲线C上运动；
（Ⅱ）曲线C在点P处的切线与直线l交于点R，M为线段PQ的中点．
（1）求证：直线RM∥x轴；
（2）若直线RM平分∠PRF，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义，可判断P点在抛物线y²=4x上，所以要想证明动点P、Q在同一条曲线C上运动，只需证明Q点也在抛物线y²=4x上即可，利用Q点为过N且平行于x轴的直线与动直线PF的交点，带着参数求出Q点坐标，证明不论参数为何值，Q点都满足抛物线y²=4x方程，就可证明在抛物线y²=4x上．
（Ⅱ）（1）欲证直线RM∥x轴，只需证明R，M两点的纵坐标相等．利用导数求出抛物线在P点处的切线斜率，得到切线方程，再与直线l：x=-1联立，解出R点坐标，用中点坐标公式求出M点坐标，观察纵坐标是否相同即可．
（2）由于直线RM平分∠PRF，且RM∥x轴，可得几何条件|AR|=|RF|，由（1）中直线PR的方程，表示出R点坐标，依几何条件列方程可求得点P的坐标，最后由两点式写出所求直线方程

解答：解：（I）点P在曲线C：y²=4x上
令P(

y 2 1

4

，y1)，OP：y=

4

y1

x，N(-1，-

4

y1

)
Q(

4

y12

，-

4

y1

)
NQ：y=-

4

y1

，PF：y=

4y1

y12-4

(x-1)
将直线NQ的方程代入直线PF的方程消去y₁，得y²=4x
∴点Q在曲线C上．
（II）
（1）∵y=2

x

，y′=

1

x

，kPR=

2

y1

∴PR：y-y1=

2

y1

(x-

y 2 1

4

)
∴R：(-1，

y1

2

-

2

y1

)，M(

y12

8

+

2

y12

，

y1

2

-

2

y1

)
显然RM∥x轴
(2)PR与x轴交于A(-

y 2 1

4

，0)
若RM平分∠PRF，且RM∥x轴
∴|AR|=|RF|
即

y 2 1

4

-1=2，

y

2 1

=12
∵y1＞0∴y1=2

3

∴P（3，2

3

），又F（1，0）
∴PF：y=

3

(x-1)
即直线PQ的方程为y=

3

(x-1)

点评：本题综合考察了抛物线的标准方程和几何性质，直线与抛物线的关系，解题时要学会通过恰当设点的坐标进行证明和计算，要学会将几何条件进行转化，便于证明和计算