Question

求下列函数的值域：（1）y=

5x+2

2x-3

；（2）y=(

1

4

)x-3 • (

1

2

)x+2，x∈[-2，2]．

Answer 1

分析：（1）可由分离常数法将函数解析变为y=

5

2

-

19 2

2x-3

，再求函数值域；
（2）由题，令t=(

1

2

)x，由换元法得y=t²-3t+2，

1

4

≤t=(

1

2

)x≤4，再配方即可判断出函数的最大值与最小值，从而得出函数的值域．

解答：（1）解：y=

5

2

-

19 2

2x-3

，
∵

19 2

2x-3

≠0
∴y≠

5

2

，
即函数的值域是（-∞，

5

2

）∪（

5

2

，+∞）

（2）解：y=(

1

2

)2x-3(

1

2

)x+2
令t=(

1

2

)x，则y=t²-3t+2，（2分）
∵x∈[-2，2]，∴

1

4

≤t=(

1

2

)x≤4，（4分）y=(t-

3

2

)2-

1

4

，（5分）
当t=

3

2

时，ymin=-

1

4

，当t=4时，y_max=6，
∴y∈[-

1

4

，  6]（8分）

点评：本题考点是指数函数的值域，考查了分式函数的值域的求法，指数型复合函数的值域的求法，解题的关键是理解复合函数的值域求法规律，及熟练使用分离常数法与配方法的技巧．