Question

某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是

1

2

．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P_n．
（Ⅰ）求：P₀，P_l，P₂；
（Ⅱ）求证：Pn-Pn-1=-

1

2

(Pn-1-Pn-2)；（n≤99，n∈N）
（Ⅲ）求：玩该游戏获胜的概率．

Answer 1

分析：（I）棋子在0站是一个必然事件，得到发生的概率等于1，掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面出现的概率得到结果．
（II）由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列．
（III）写出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率．

解答：解：（Ⅰ）依题意，得  P₀=1，P1=

1

2

，P2=

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

（Ⅱ） 依题意，棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：
第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为

1

2

Pn-2；
第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为

1

2

Pn-1；
∴Pn=

1

2

P

n-1

+

1

2

P

n-2

∴Pn-Pn-1=

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2-Pn-1=-

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2
即Pn-Pn-1=-(

1

2

Pn-1-

1

2

Pn-2)(2≤n≤99)
（Ⅲ） 由（II）可知，数列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首项为P1-P0=-

1

2

，
公比为

1

2

的等比数列，
于是，有P₉₉=P₀+（P₁-P₀）+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P₉₉-P₉₈）=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+…+(-

1

2

)99=

2

3

[1-(

1

2

)100]
因此，玩该游戏获胜的概率为

2

3

[1-(

1

2

)100]．

点评：本题考查概率的实际应用，是一个中档题目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法．