Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-3n，（n∈N^*）．
（1）证明：{a_n+3}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=，求数列{b_n}的前n项和H_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用当n≥2时，S_n-S_n-1=a_n，可得得a_n=2a_n-1+3，从而可构造等比数列求解a_n+3，进而可求a_n，
（2）由（1）可得，b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1），然后利用错位相减法求解数列的和
解答：证明：（1）当n≥2时由S_n=2a_n-3n得S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
两式相减得S_n-S_n-1=a_n=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，
整理得a_n=2a_n-1+3     …（2分）
∴==2                          …（4分）
由S₁=2a₁-3得a₁=3，
∴a₁+3=6
∴{a_n+3}是以6为首项、2为公比的等比数列           …（5分）
∴a_n+3=6.2^n-1，
∴a_n=3.2ⁿ-3                       …（6分）
（2）解：∵b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）
设T_n=1.2¹+3.2²+5.2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ                 ①
2T_n=1.2²+3.2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹     ②
由①-②得：-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）2ⁿ⁺¹，…（7分）
=2+-（2n-1）.2ⁿ⁺¹       …（9分）
化简得 T_n=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6．                       …（11分）
∴H_n=T_n-[1+3+…+（2n-1）]=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6-n²        …（14分）
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列在求解数列的通项中的应用，及数列的错位相减法求和的应用