Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和一个 最低点之间的距离为

4+π2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f(α+

π

3

)=

2 2

3

(-

π

3

＜α＜0)，求sin(2α-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）设最高点为（x₁，1），相邻的最低点为（x₂，-1），则 |x1-x2|=

T

2

(T＞0)．由周期求出ω，由f（x）是偶函数求得φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）由条件利用诱导公式求得sin（α-

π

6

）的值，再由-

π

2

＜α-

π

6

＜-

π

6

求得cos（α-

π

6

）的值，再利用二倍角公式求得sin(2α-

π

3

)的值．

解答：解：（1）设最高点为（x₁，1），相邻的最低点为（x₂，-1），则|x1-x2|=

T

2

(T＞0)．
由其图象得

T2

4

+4=4+

π

2

，∴T=2π．
由T=

2π

ω

，得ω=

2π

2π

=1，∴f（x）=sin（x+φ）．
∵f（x）是偶函数，∴sin（-x+φ）=sin（x+φ），得2sinxcoxφ=0，∴cosφ=0，φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
∴φ=kπ+

π

2

，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ=

π

2

，
∴f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）∵cos（α+

π

3

）=

2 2

3

，∴cos（α+

π

3

）=cos（α-

π

6

+

π

2

）=

2 2

3

，∴sin（α-

π

6

）=-

2 2

3

．
∵-

π

3

＜α＜0，-

π

2

＜α-

π

6

＜-

π

6

，∴cos（α-

π

6

）=

1

3

∴sin(2α-

π

3

)=2sin(α-

π

6

) cos (α-

π

6

)=2×(-

2 2

3

)×

1

3

=-

4 2

9

．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，以及函数的奇偶性、二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．