Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当x∈[0， 

π

2

]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用正弦函数的性质，可得函数f（x）的对称轴方程；
（2）整体思维，求得角的范围，利用正弦函数的性质，可得函数f（x）的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
令2x-

π

4

=kπ+

π

2

k∈Z），即f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z）．…（6分）
（2）f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1．
当x∈[0， 

π

2

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

， 

3π

4

]，所以当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f(x)max=

2

-1；   …（10分）
当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）_min=-2，
故函数f（x）的取值范围是[-2， 

2

-1]．…（12分）

点评：本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，解题的关键是正确化简函数．