Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-n²+20n，n∈N^*．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）设{b_n-a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）当n=1时，a₁=S₁=19；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（II）利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=19；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²+20n-[-（n-1）²+20（n-1）]=-2n+21，当n=1时也成立．
综上可知：an=-2n+21，n∈N*．
（II）∵{b_n-a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴bn-an=3n-1，∴bn=3n-1-2n+21（n∈N^*）．
∴Tn=Sn+1+3+32+…+3n-1
=-n2+21n+

1×(3n-1)

3-1

=-n2+21n+

3n-1

2

．

点评：熟练掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

\等比数列的定义及其前n项和公式是解题的关键．