Question

已知函数f（x）=log_a

2+x

2-x

（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（3）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

2+x

2-x

＞0得 （x+2）（x-2）＜0，解得x的范围，即可求得定义域．
（2）函数f(x)=loga

2+x

2-x

是奇函数，证明如下：任意取x∈（-2，2），根据f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数．
（3）因为loga

2+x

2-x

＞0，且  0＜a＜1，所以，0＜

2+x

2-x

＜1，由此求得x的范围．

解答：解：（1）由

2+x

2-x

＞0得  （2+x）（2-x）＞0，则  （x+2）（x-2）＜0，
解得-2＜x＜2．…（2分）
即定义域为（-2，2）．…（3分）
（2）函数f(x)=loga

2+x

2-x

是奇函数．…（4分）
证明如下：任意取x∈（-2，2），
则 f(x)=loga

2+x

2-x

，f(-x)=loga

2-x

2+x

，…（5分）
又 f(-x)=loga

2-x

2+x

=loga(

2+x

2-x

)-1=-loga

2+x

2-x

=-f（x），
因此函数f(x)=loga

2+x

2-x

是奇函数．…（8分）
（3）因为loga

2+x

2-x

＞0，且  0＜a＜1，所以，0＜

2+x

2-x

＜1，…（10分）
由

2+x

2-x

＞0，解得-2＜x＜2；由

2+x

2-x

＜1，解得 x＜0或x＞2．
综合可得-2＜x＜0．
因此，当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围为（-2，0）．…（14分）

点评：本题主要求函数的定义域、函数的奇偶性的判断和证明方法，解对数不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．