Question

动圆P与定圆O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，设P点的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点A（3，0）作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若

MA

=λ1

MP

=λ2

MQ

当λ₁+λ₂=m时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，
动圆的半径为r，则|PQ₁|=r+3，
|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，…（3分）
点P的轨迹是以O₁、O₂为焦点的双曲线右支，
a=1，c=2，
方程为x2-

y2

3

=1，(x＞0)…（6分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当k不存在时，不合题意．
直线PQ的方程为y=k（x-3），
则M(0，-3k)，

MA

=(3，3k)，

MP

=(x1，y1+3k)，

MQ

=(x2，y2+3k)，由

MA

=λ1

MP

=λ2

MQ

得

3=λ1x1 3=λ2x2

…（8分）
由

y=k(x-3) x2- y2 3 =1

得(3-k2)x2+6k2x-3-9k2=0∵x₁、x2是此方程的两正根，x1+x2=

6k2

k2-3

＞0，x1x2=

9k2+3

k2-3

＞0，
∴k²＞3…（10分）
m=λ1+λ2=

3

x1

+

3

x2

=

3(x1+x2)

x1x2

=

6k2

3k2+1

=2-

2

3k2+1

∈(

9

5

，2)…（14分）