题目内容

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数f(x)=2x+
4
x
，x∈[1，10]；g（x）=-x3，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数f(x)=
x+2
+k，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．
（1）f′(x)=2-
4
x2
=
2(x2-2)
x2

令f'（x）=0
解得x=
2
(x=-
2
舍）
∵x∈[1，
2
)时f'（x）＜0；
x∈(
2
，10]时f'（x）＞0
∴f（x）在[1，
2
)上是减函数，在(
2
，10]上是增函数
∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
∴f(x)=2x+
4
x
不是闭函数．
②∵g'（x）=-x2≤0∴g（x）=-x3在R上是减函数，
设g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则
b=-a3
a=-b3
a＜b
，解得
a=-1
b=1

∴存在区间[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数g（x）=-x3是闭函数
（2）函数f(x)=
x+2
+k在定义域上是增函数
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则
a=k+
a+2
b=k+
b+2
，
故a，b是方程x=k+
x+2
的两个不相等的实根，
命题等价于
x2-(2k+1)x+k2-2=0
x≥-2
x≥k
有两个不相等的实根，
当k≤-2时，
2k+1
2
＞-2
(2k+1)2-4(k2-2)＞0
22-(2k+1)k+k2-2≥0
，
解得k＞-
9
4
，∴k∈(-
9
4
，-2]．
当k＞-2时，
2k+1
2
＞k
(2k+1)2-4(k2-2)＞0
k2-(2k+1)k+k2-2≥0
，无解．
∴k的取值范围是(-
9
4
，-2]
练习册系列答案
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已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+
π
2
)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
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④当x=
π
2
时，它一定取最大值；其中描述正确的是
 
．
给出下列五个命题：
①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；
②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x0，当x＞x0 时，有2x＞x2成立；
④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．
其中正确的序号是
③⑤
③⑤
．
（2010•和平区一模）函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设F（x）=f2（x）+f2（-x），则对于函数y=F（x）有如下四种说法：①定义域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函数；④在定义域内单调递增．其中正确的说法是（　　）
（2010•上海模拟）对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分
AB
的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x2（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式
a2+λb2
1+λ
＞(
a+λb
1+λ
)2．若函数为f（x）=log2010x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
．
已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））都有（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]＜0．若实数a，b满足f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　）
A、8B、4C、2D、1

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